車を避けようとした際、ケガをしてしまいました。運転手に請求できますか？

車と実際に衝突していなくとも、車が急接近し、これを避けようとした結果、ケガをしてしまったということならば、交通事故による治療費や慰謝料の請求は問題なくできます。
しかし、実際に衝突したときと比べると、本当に事故によるケガなのかを示す証拠は少なくなり（たとえば車側には事故による傷はできていなかったり）、加害者側が自分に責任はないと争ってくるものも少なくありません。よって、事故が起きた時の状況をできるだけ詳細に供述できることが望ましく、なるべく事故から時間が経たないうちに書面に状況を書き起こすなど、証拠化する作業も必要になるでしょう。弁護士に早急に相談するというのも重要になると考えられます。